[선형대수] 부분공간(Subspace)의 기저(Basis)와 차원(Dimension) 그리고 행렬의 계수(Rank)

출처 : www.boostcourse.org/ai251

 

Span and Subspace

subset : 부분집합

subspace : 부분공간 = 부분집합 + 선형 결합 아래에 닫혀있다.(:= span)

 

닫혀있다(closed under)

'곱셈에 닫혀있다' : 집합의 원소를 뽑아 곱셈을 하였을 때 결과값이 집합에 있다.

'선형결합에 닫혀있다' : 선형결합을 해도 기존 벡터에 포함되어 있다.(:= span)

 

 

Basis of a Subspace

Basis : 기저 벡터

조건1 : Fully spans the given subspace H (Span에 포함되어 있다)

조건2 : Linearly independent (선형 독립)

where 𝐻 = Span {𝐯1, 𝐯2, 𝐯3},

Span {𝐯1, 𝐯2} forms a plane,

but 𝐯3 = 2v1 + 3v2 ∈ Span {𝐯1, 𝐯2}, {𝐯1, 𝐯2} is a basis of 𝐻,

but not {𝐯1, 𝐯2, 𝐯3} nor {𝐯1} is a basis.

 

Non-Uniqueness of Basis 

특징 : 중복을 허용하지 않는다. -> 선형 독립이지만 계수(가중치)를 변경해서 표현할 수 있다. (change of basis)

 

 

Dimension of Subspace

dimension : 기저 벡터의 개수 ( dim 𝐻.)

standard basis : [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1] (유닛 벡터 느낌)

 

 

Column Space of Matrix

column space of matrix

 

Matrix with Linearly Dependent Columns

선형 의존 벡터 제외하고 표현 한다.

 

Rank of Matrix

rank 𝐴 = dim Col 𝐴 

선형 의존(중복 된) 벡터를 제외한 dimension 수

 

중복 된 벡터가 모델의 학습에 악영향을 끼칠 수 있다.

 

 

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