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Scalar, Vector, and Matrix
스칼라 - 일반 숫자
Vector(백터) - 열백터를 기본으로 한다. 행백터는 열백터의 transpose 된 형태이다.
Set - 순서가 없는 리스트
Matrix(행렬) - two-dimensional array of numbers
Matrix Notations
square matrix - 정방행렬. rows == columns
rectangular matrix - 직사각형 행렬
transpose of matrix - 행/열 변환 2x3 -> 3x2
Vector/Matrix Additions and Multiplications
element-wise addition
A + B = B + A
scalar multiple of vector/matrix
A = [1, 2]
3 * A = [3, 6]
matrix-matrix multiplication
고딩때 배웠던 행렬 곱셈
A * B != B * A
Linear equation - 선형 방정식
𝑎1𝑥1+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏,
𝑥1 𝑥2 --> variables (변수, 가중치) -> 구해야 할 값
𝑎1 𝑎2 --> coefficients (계수) -> 알려진 값
𝑏 -> 상수
𝐚𝑇 : 𝐚의 transpose
𝐚𝑇 𝐱 = 𝑏
𝑎 = [ 𝑎1
𝑎2
𝑎3
... ]
𝑥 = [ 𝑥1
𝑥2
𝑥3
... ]
Linear system: set of equations - 선형 연립방정식(방정식의 집합)
60𝑥1+5.5𝑥2+1 ∙ 𝑥3= 66
65𝑥1+5.0𝑥2+0 ∙ 𝑥3= 74
55𝑥1+6.0𝑥2+1 ∙ 𝑥3= 78
연립 방정식을 아래와 같이 표현할 수 있다.
Ax = b
a1t x = 66
a2t x = 75
a3t x = 78
[60 5.5 1] 𝑥1 = 66
[65 5.0 0] 𝑥2 = 74
[55 6.0 1] 𝑥3 = 78
Identity matrix - 항등행렬
[ 1 0 0
0 1 0
0 0 1]
∀𝐱 ∈ ℝ𝑛 ,
𝐼𝑛𝐱 = 𝐱
Inverse matrix - 역행렬(Square Matrix: 정방행렬)
정사각행렬만 해당된다. 직사각행렬은 존재할 수도 존재하지 않을 수도 있다.
𝐴 −1𝐴 = 𝐴𝐴 −1 = 𝐼𝑛.
고딩때 배웠던 역행렬. 고차원의 역행렬은 연립방정식을 통하든 알고리즘을 사용해서 찾고 증명할 수 있다.
𝐴 = [𝑎 𝑏
𝑐 𝑑]
𝐴^-1 = 1/(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)[ 𝑑 - 𝑏
-𝑐 𝑑]
Solving Linear System via Inverse Matrix
𝐴𝐱 = 𝐛
𝐴 −1𝐴𝐱 = 𝐴 −1𝐛
𝐼𝑛𝐱 = 𝐴 −1𝐛
𝐱 = 𝐴 −1 𝐛
Non-Invertible Matrix 𝐴 for 𝐴𝐱 = 𝐛
determinant (판별식) : det 𝐴. (이차원의 경우 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐. 역행렬 공식의 분모)
역행렬이 존재 할 경우( det 𝐴 != 0): 𝐱 = 𝐴 −1𝐛. 근이 하나만 존재한다
역행렬이 존재 하지 않을 경우 ( det 𝐴 == 0) : 근이 없거나 무한히 많다.
Does a Matrix Have an Inverse Matrix?
Rectangular Matrix 𝐴 in 𝐴𝐱 =𝐛
Recall 𝑚 = #equations(행) and 𝑛 = #variables(열)
under-determined system : 𝑚 < 𝑛: 해가 무수히 많다.
over-determined system : 𝑚 > 𝑛: 해가 없다.
Uniqueness of Solution for 𝐴𝐱 = 𝐛
span : 백터들이 존재하는 공간.
백터를 다른 백터로 표현할 수 있다. v1 + v2 = v3
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