[선형대수학] Matrix Algebra

출처 : 인프런 선형대수학

 

2.1 Matrix Operations

고딩때 배운 행렬의 연산.

 

commute : 뒤집혀도 같다.

 

 

2.2  Transpose of a Matrix

(AB)T = BT * AT

 

Inverse of a Matrix

s^-1

 

Invertible Matrix

A(n * n) = 

CA = I and AC = I

 

nonsngular matrix : invertible

singular matrix : not invertible

 

2차 매트릭스의 경우

ad-bc != 0 -> invertible

det A = ad - bc

 

unique solution을 가지는 경우

Ax = b -> x = bA^(-1)

 

(A^-1)^-1 = A

(AB)^-1 = B^-1 A^-1

(AT)^-1 = (A^-1)T # Transpose

 

 

Elementary Matrices

row operation(replace, interchange, scaling)을 표현한 매트릭스

이 정리를 통해서 A의 Transpose 를 구할 수 있다.

 

단순하게 생각하면... A의 Reduced echelon form 만드는 과정을 저장한 것이 Elementary Matrices 이다.

당연히 invertible한 matirx만 해당된다.

 

 

2.3 Characterizations of Invertible Matrix Theorem아래는 모두 동치이다

1. A is an invertible matrix

2. There is an n*n matrix C such that CA = I

3. the equation Ax = 0 has only the trivial solution

4. A has n pivot positions

5. A is row equivalent to the identity n*n matrix

6. There is an n*n matrix D such that AD = I

7. The equation Ax = b has at least one solution for each b in Rn

8. The columns of A span Rn

9. The linear transformation x -> Ax maps Rn onto Rn

10. The colunms of A form a linearly independent set

11. The linear transformation x -> Ax is one-to-one

12. AT is an invertible matrix

 

 

 

2.4 Partitioned Matrices행렬을 위치로 쪼갠다

 

Column-Row Expansion of ABA(m*n) B(n*p)

 

Inverses of Partitioned Matricesblock upper triangular

 

 

2.5 Matrix Factorization(인수분해)

 

LU Factorization Algorithm

PA = LU

LU 구하는 순서

1. echelon form -> U

2. unit lower triangular elementary matrices

A = LU 에서  U를 구했다. L는 I로 잡고 구해주면 된다.

 

echelon form 작업에 interchange 있었으면 PA = LU에서 P에 interchage 연산을 작성한다.

10월 18일 수요일 2-4 까지 진도 나

 

장점 : 소폭 연산이 빠르다.

A에 0이 많으면 inverse(Transpose)로 값을 구하는 것보다 훨씬 빠르다.

다른 방법도 있지만... 선형대수학을 벗어난다.

 

메모리 측면 : 컴퓨터는 0은 저장하지 않고 메모리를 확보한다.

인버스는 행렬의 모든 값이 들어가게 되므로 메모리 측면에서 장점이 있다.

 

2.6 subspaces of Rn

Any set H in Rn that has three properties:

a. The zero vector is in H. (zero vectors in Rn is called the zero subspace)

b. For each u and v in H, the sum u+v is in H. (closed under addition : 덧셈에 닫혀있다.)

c. For each u in H and scalar c, the vector cu is in H. (closed under scalar multiplication : 스칼라 곱에 닫혀있다.)

 

Column Space: Col A

A = [a1 a2 ... an] Rm

Col A = Span{a1, a2, ..., an}

Col A = Subspace of Rm

 

동치 : is b in Col A? == is Ax=b consistent?

 

Null Space: Nul A

Nul A == all solutions of homogeneoues eqation (Ax = 0)

is u in Nul A? == is Au=0?

증명)

A0 = 0

Au = 0, Av = 0

A(u+v) = Au +Av = 0

Au = 0, Acu = c(Au) = 0

 

 

null space is defined implicitly(암묵적 정의)

culumn space is defined explicitly(명시적 정의)

culumn space 은 모든 컬럼을 스팬한다.

null space은 호모지니어스를 풀고 재너럴 솔루션을 구해야 알 수 있기 때문이다.

 

 

Basis for a Subspace

A basis for subspace H of Rn is a linearly independent set in H that spans H.

H의 기저벡터는 H를 span 한다.

 

Standard Basis for Rn

Identity matrix의 벡터. 당연히 기저벡터이며 선형독립이다.

각 축의 크기는 identity matrix 이므로 1이다.

Standard Basis for Rn

 

example 4. find a basis for the null space of the follwing matrix.

general solution = x2u + x4v + x5w

u,v,w : linear independent

x2u + x4v + x5w = 0 의 솔루션은 trivial solution 뿐이다.?

{u, v, w} is basis of Nul A

 

(homogeneoues eqation)A의 general solution은 Null Space의 basis 들의 linear combinations 으로 표현할 수 있다.

example 4

 

example 5. Find a basis for the column space of the following matrix.

ColB = b1, b2, b5는 pivot column, Identity vector이므로 선형 독립이다. 그리고 basis 이다.

ColA = reduced echelon form 이전의 매트리스를 봐도 동일한 basis이다.

reduced echelon form 전후의 컬럼 스페이스는 다르다. 주의하자. Col A != ColB 

example 5

 

 

 

2.7 Dimension and Rank

 

Coordinate Systems(좌표계)

Basis={b1, .., bp} H

 

H의 모든 x를 weight(c)와 basis로 표현할 수 있다.

isomorphic 동형

 

 

 

IMT

 

 

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